77. В пространстве однородных многочленов нечетной степени от двух переменных имеется симплектическая структура, инвариантная относительно естественного действия группы сохраняющих площади линейных преобразований плоскости; эта структура единственна (с точностью до ненулевого множителя). Найдите ее явное выражение через коэффициенты многочленов.
78. В каждом слое лагранжева расслоения имеется естественная локальная аффинная структура (избранный класс систем координат, в которых лагранжевы эквивалентности задают аффинные преобразования).
79. Докажите, что график преобразования Лежандра гладкой функции является фронтом (образом лежандрова отображения гладкого лежандрова многообразия),
80. Основания перпендикуляров, опущенных из начала координат на касательные плоскости не содержащей начала координат поверхности в евклидовом пространстве, образуют поверхность, называемую производной (исходная же поверхность называется первообразной для своей производной). Докажите, что особенности производных гладких поверхностей — лежандровы (т. е. что производная диффеоморфна фронту лежандрова отображения).
81 (продолжение). Докажите, что особенности первообразных гладких поверхностей — лежандровы. Нарисуйте первообразные эллипса на плоскости и эллипсоида в трехмерном пространстве.
82. Фронтом какого лежандрова отображения является эквидистанта гладкой поверхности в евклидовом пространстве?
83. Фронтом какого лежандрова отображения является график (многозначной) функции расстояния до данной гладкой поверхности в евклидовом пространстве?
84. Докажите, что в слоях лежандрова расслоения имеются естественные структуры локально проективных пространств (так что лежандровы эквивалентности, т. е. диффеоморфизмы, сохраняющие контактную структуру и структуру лежандрова расслоения, задают на слоях проективные преобразования).
К разделу 15
85. Продолжим действие группы, порожденной отражениями плоскости в двух составляющих угол π/q зеркалах, на комплексную плоскость. Докажите, что ногообразие орбит само гомеоморфно комплексной плоскости, а многообразие нерегулярных орбит (орбит точек зеркал) — кривой z2 = ωq на плоскости двух комплексных переменных.
86. Продолжим действие группы, порожденной отражениями в диагональных плоскостях хi = xj трехмерного пространства х1 + х2 + х3 + х4 = 0 на комплексное пространство. Докажите, что многообразие орбит — трехмерное комплексное пространство, а многообразие нерегулярных орбит — комплексный ласточкин хвост.
87. На рис. 81 изображена вещественная часть многообразия нерегулярных орбит действия группы симметрий икосаэдра на комплексном пространстве. Где располагаются вещественные орбиты?
88. Преобразования группы монодромии, заданные функцией х3 — εх + у2, действуют на торе без точки, Докажите, что любую замкнутую несамопересекающуюся кривую на торе без точки, не стягиваемую на торе, можно перевести в любую другую такую кривую преобразованием из группы монодромии.
89. Сколько ручек имеет комплексная линия неособого уровня функции zn + ω2? Докажите, что их число равно g, если n = 2g + 1 или 2g + 2.
К разделу 16
90. Степени преобразования комплексной плоскости в себя (z, ω) → (az, aω), a = e2πi/q, образуют группу — бинарную группу g-угольника. Докажите, что все инвариантные относительно этой группы многочлены выражаются через X = zq, Y = ωq, Z = zω и что многообразие орбит совпадает с поверхностью XY = Zq в трехмерном комплексном пространстве. Докажите, что эта поверхность диффеоморфна нулевому множеству уровня простой функции Aq-1 трех комплексных переменных.
91. Докажите, что многообразие орбит действия бинарной группы тетраэдра (октаэдра, икосаэдра) на комплексной плоскости совпадает с поверхностью нулевого уровня функции Е6 (Е7, Е8) от трех комплексных переменных.
92. Набор проходящих через начало координат гладких подмногообразий называется простым, если все близкие наборы исчерпываются конечным списком (с точностью до диффеоморфизма окрестности начала координат). Найдите все простые наборы на плоскости и в трехмерном пространстве.
93. Критическая точка 0 гладкой функции f (x, у) называется простой краевой особенностью (на плоскости с краем х = 0), если все близкие функции исчерпываются конечным списком (с точностью до диффеоморфизма окрестности начала координат, сохраняющего прямую х = 0). Докажите, что простые критические точки функции двух комплексных переменных исчерпываются списком
Вk = хk + y2 (k ≥ 2); Сk = ху + уk (k ≥ 3), F4 = x2 + у3
(уравнение края — х = 0),
Список литературы
К предисловию
Работы Тома, Мазера, Морена и др. собраны в сборнике пере водов: Особенности дифференцируемых отображений. — М.: Мир 1968. — 268 с.
Обсуждаемые в предисловии статьи:
Тюрина Г. Н. Топологические свойства изолированных особенностей комплексных пространств коразмерности один // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1968. — Т. 32. — С. 605 — 620.
Nye J. F., Hannay J. Н. The orientation and distortion of caustics in geometrical optics // Optica Acta. — 1984. — V. 31, № 1. — P. 115 — 130.
Чеканов Ю. В. Каустики геометрической оптики // Функцион. анализ и его прил. — 1986. — Т. 20, вып. 3. — С. 66 — 69.
О гипотезе Тома:
Thom R. Topological models in biology // Topology. — 1969. V. 8. — P. 313 — 336.