Особенность четвертого тина связана с теорией дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной, называемых также неявными дифференциальными уравнениями.
Такое уравнение имеет вид F(х, у, р) = 0, где р = dy/dx. Геометрически уравнение F = 0 задает поверхность в трехмерном пространстве с координатами (х, у, р). Она называется поверхностью уравнения.
Условие р = dy/dx выделяет плоскость в каждой точке нашего трехмерного пространства. Эта плоскость состоит из векторов, у-компонента которых в р раз больше х-компоненты, где р — координата точки приложения. Такая плоскость называется контактной. Контактная плоскость в каждой точке вертикальна (содержит направление оси р). Все вместе контактные плоскости задают поле контактных плоскостей, называемое также контактной структурой.
Контактная структура высекает на поверхности уравнения поле направлений (с особыми точками в тех местах, где контактная плоскость касается поверхности). Поверхность уравнения здесь предполагается гладкой. Это условие выполняется для уравнений общего положения.
Вопрос о строении типичных особых точек неявных дифференциальных уравнений рассматривался еще в прошлом веке, и король Швеции Оскар II включил его, наряду с проблемой трех тел, а список из четырех вопросов на премию 1885 г.
Решение этого вопроса было получено лишь в 1985 г. А. А. Давыдовым в виде побочного продукта исследования областей достижимости управляемых систем па плоскости.
Ответ доставляет следующий список нормальных форм (к которым уравнение приводится локальным диффеоморфизмом плоскости):
В зависимости от значения параметра к здесь возможны три случая. Особая точка поля на поверхности уравнения может оказаться седлом, узлом или фокусом. Отображение проектирования поверхности уравнения на плоскость (х, у) вдоль оси р имеет особенностью складку. В окрестности типичной точки складки уравнение приводится к нормальной форме Чибрарио (1932), х = р2. Все особые точки автоматически попадают на складку. Результат складывания изображен на рис. 55: особые точки па плоскости (х, у) называются сложенным седлом (узлом, фокусом соответственно). Оказывается, несмотря па сложность узора, образованного интегральными кривыми па плоскости (х, у), он (даже не только топологически, но и с точностью до диффеоморфизма) однозначно определяется единственным "модулем" k (как и фазовый портрет соответствующего векторного поля на плоскости вблизи особой точки).
Сложенные особые точки — седла, узлы, фокусы — встречаются во многих приложениях. Рассмотрим, например, асимптотические линии на поверхности в трехмерном пространство (поверхность имеет с касательными прямыми касание выше первого порядка в каждой своей точке). Для поверхности общего положения сеть асимптотических линий заполняет область гиперболичности, где поверхность имеет отрицательную кривизну (как обыкновенное седло). Через каждую точку области гиперболичности проходят две асимптотические лини и область гиперболичности ограничена линией параболических точек, на которой оба асимптотических направления совпадают.
В окрестности типичной параболической точки асимптотические линии имеют полу кубическую особенность и вся сеть их приводится к такой же нормальной форме у = с ± х3/2 как и семейство интегральных кривых уравнения Чибрарио.
Однако в окрестности отдельных точек на линии параболичности поведение асимптотических линий сложнее: они устроены как интегральные кривые неявных уравнений вблизи сложенных особых точек (рис. 55).
Рис. 55. Сложенные особенности
Сложенные особенности появляются также в теории релаксационных колебаний. Пусть система имеет одну быструю и две медленных переменных, так что полное фазовое пространство трехмерно. Точки, где скорость изменения быстрой переменной равна нулю, образуют (вообще говоря гладкую) поверхность — медленную поверхность системы. Движение фазовой точки состоит из нескольких процессов. Вначале быстрая переменная релаксирует, т. е. фазовая точка быстро движется по "вертикали" (по направлению оси быстрой переменной) к медленной поверхности, затем начинается медленное движение вдоль этой поверхности. Траектории этого движения определяются полем направлений, высекаемым на ней полем плоскостей, натянутых на вертикальное направление (направление оси быстрой переменной) и направление возмущений. Это поле плоскостей определяет, вообще говоря, контактную структуру в фазовом пространстве, и особенности медленного движения описываются, вообще говоря, сложенными особыми точками рис. 55.
В качестве последнего примера тех же особенностей рассмотрим движение материальной точки в потенциальной яме (или у потенциального барьера) в присутствии трения. Обозначим (рис. 56) через х координату точки, а через Е ее полную энергию. Проекции фазовой траектории на плоскость (х, Е) имеют при подходе к графику потенциальной энергии полукубические, вообще говоря, особенности. Минимуму (максимуму) потенциальной энергии отвечает особая точка. Для потенциальной энергии общего положения получаются все те же сложенные особенности Давыдова.
Рис. 56. Диссипация энергии в яме и у барьера
Причина, по которой сложенные особенности встречаются столь часто, состоит в том, что часто встречаются как обычные особенности векторного поля, так и складывания. Неожиданным здесь является лишь то, что комбинирование складывания с особенностью не приводит к большему разнообразию случаев, чем в классификации самих особенностей векторных полей. А именно, рассмотрим складывание как инволюцию (диффеоморфизм, квадрат которого — тождественное преобразование) на плоскости, несущей векторное поле с особой точкой. Если линия неподвижных точек инволюции проходит через особую точку поля и инволюция на этой линии меняет знак каждого вектора поля на противоположный, то такая инволюция (почти всегда) переводится в любую другую инволюцию с такими свойствами при помощи диффеоморфизма, двигающего вдоль себя каждую фазовую кривую заданного поля. Этот (довольно неожиданный) результат является источником всей описанной выше теории.
Четвертая особенность границы достижимости получается из двух сепаратрис сложенных седел, входящих с разных сторон в сложенный узел. Приведенная выше нормальная форма сложенного узла позволяет явно выписать нормальную форму четвертой особенности, но я здесь не буду этого делать.
Примеры управляемых систем и целей, приводящих к указанным особенностям границы достижимости, изображены на рис. 57, 58, 59. На этих рисунках цель у обозначена двойной линией, граница области достижимости — Т-образным пунктиром (ножка буквы Т обращена в сторону области достижимости). Линии со стрелками касаются краев конусов допустимых направлений в каждой точке; горизонтально заштрихована область "полной управляемости, (выпуклая оболочка индикатрисы окружает 0). Рассматривая рис. 57 — 59 читатель может проверить неустранимость особенностей 1 — 4.
Чтобы разобраться в этих рисунках, мы построим сеть предельных линий, определяемую следующим образом.
В каждой точке вне области полной управляемости направления допустимых скоростей расположены внутри угла, меньшего 180°.
Стороны этого угла определяют направления предельных скоростей в данной точке. Таким образом, в каждой точке вне области полной управляемости возникают два предельных направления. Интегральные кривые нолей предельных направлений (т. е. кривые, имеющие предельное направление в каждой своей точке) называются предельными линиями.
Сеть предельных линий изображена на рис. 54 вместе с индикатрисами допустимых скоростей (они имеют вид эллипсов) и с опирающимися на индикатрисы углами, образованными допустимыми направлениями движения.
Граница области достижимости состоит из отрезков предельных линий (и, быть может, отрезков линии цели, если цель не лежит в области полной управляемости, см. рис. 57). Эти отрезки соединяются между собой в точках, которые и составляют особенности границы области достижимости.
Рис. 57. Устойчивость особенностей 1 и 2 на границе области достижимости
На рис. 57 цель имеет вид контура лежащей на спине буквы С. допустимые скорости во всех точках плоскости одинаковы и надавлены вверх под углом, составляющим не более 45° с вертикалью.
Наклон всех предельных линий ±45°. Граница достижимости обозначена Т-образным пунктиром. Видны особые точки границы двух типов: 1 и 2.
В точке 1 соединяются отрезка двух разных предельных линий. Они пересекаются под ненулевым углом. Ясно, что из точек, расположенных выше указанной на рис. 57 границы, при движении по направлению, образующему с вертикалью угол 45° или меньше, попасть на цель нельзя, а из точек, расположенных ниже, — можно. Интересно отметить, что вершина 1 зияет на границе области достижимости: область недостижимости вклинивается в этом месте в области достижимости. Таким образом, в смысле п. 7 хороший оказывается именно недостижимое.